Площадь и объём поверхности шара

Это следует знать:

  • Шар – геометрический объект, получившийся в результате вращательных полукруговых движений вокруг центра. Любая точка поверхности шара находится на одинаковом расстоянии от центра.
  • Сфера – не то же самое, что шар. Если тот является объёмным объектом и включает в себя внутреннее пространство, то сфера – это лишь поверхность данного объекта и имеет только свою площадь. Иными словами – нельзя сказать, что сфера имеет такой-то объём, в отличие от шара.
  • Число «пи» — это постоянное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. В сокращённом виде его принято обозначать числом, равным 3,14. Но на самом деле, после тройки идёт больше тысячи цифр!
  • Радиус шара равен ½ его диаметру. Точный диаметр можно вычислить с использованием нескольких плоских и ровных предметов. Нужно лишь зажать шар между этими предметами, которые зажимают шар и расположены перпендикулярно друг к другу, а затем измерить получившийся диаметр.
  • Квадратная степень обозначается в виде двойки и означает то, что это число надо умножить на само себя один раз. Если бы степень числа была в виде тройки, то умножать на само себя нужно было бы два раза. Записав выражение на бумаге, можно понять, почему используются именно двойка и тройка, а не единица и двойка.
  • Объём – величина, обозначающая размер в пространстве, занимающее объектом. От диаметра зависит объём шара. Формула будет равна четырём трети, умноженным на число «пи» и вновь умноженным на его радиус в кубе.
  • Площадь – величина, обозначающая размер поверхности объекта, но не внутреннего пространства.

Сфера и шар

Сфераповерхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Центр сферы — данная точка (точка О на рисунке выше).

Радиус сферы — данное расстояние (R на рисунке выше), также это любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо ее точкой.

Диаметр сферыотрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр. Диаметр сферы в два раза больше ее радиуса, т.е. если радиус сферы — R, то ее диаметр — 2R.

Определение

Шартело, ограниченное сферой.

Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и саму точку О), и не содержит других точек.

Шар также может быть получен вращением полукруга вокруг его диаметра. При этом сфера образуется в результате вращения полуокружности.

Объем шара

Объем шара радиуса R равен .

Доказательство

Дано: шар радиуса R и объемом V.

Доказать: .

Доказательство:

Воспользуемся принципом Кавальери*. Рассмотрим два тела: половину шара радиуса R и тело Т, представляющее собой цилиндр радиуса R с высотой R, из которого вырезан конус с радиусом основания и высотой R. Представим себе, что оба тела «стоят» на плоскости (смотри рисунок ниже). Проведем секущую плоскость , параллельную плоскости и пересекающую радиус шара ОА, перпендикулярный к плоскости , в точке А1, а высоту ВН конуса — в точке В1.

Сечение половины шара представляет собой круг, по теореме Пифагора радиус этого круга . Поэтому площадь этого круга .

Сечение тела Т представляет собой кольцо, площадь которого равна разности площадей двух кругов: круга радиуса R и круга радиуса В1В2 (смотри рисунок выше), т.е. равна . ВВ1В2 подобен ВНК по двум углам ( В — общий, ВВ1В2 = ВНК = 90 0 ), при этом ВН = НК = R, следовательно, и В1В2 = ВВ1 , кроме того, ВВ1 = ОА1 (т.к. параллельные плоскости отсекают от параллельных прямых равные отрезки), значит, площадь сечения тела Т равна .

Получаем, что площадь сечения половины шара равна площади сечения тела Т. Поэтому и объем половины шара равен объему этого тела. В свою очередь, объем тела Т можно вычислить как разность объемов цилиндра и конуса:

.

Итак, объем половины шара равен , следовательно, объем всего шара . Что и требовалось доказать.

Площадь сферы

Площадь сферы S радиуса R вычисляется по формуле .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Тогда возникает вопрос, а чем отличается шар от сферы кроме определения? Дело в том, что различия шара и сферы куда более размыты, нежели различия круга и окружности. Сфера так же имеет объем и площадь поверхности.

Пожалуй, кроме определения, разница заключается в том, что в задачах никогда не находят объем сферы. Как правило, ищут объем шара. Это не значит, что у сферы нет объема. Это трехмерная фигура, поэтому объем у нее есть.

Просто проводится аналогия с окружностью, у которой нет площади. Это не правило, но скорее традиция, которую нужно запомнить: в геометрии не приветствуется формулировка объем сферы.

Еще одно отличие, которое можно считать более или менее значимым: секущая плоскость сферы: окружность, которая не имеет внутреннего пространства, но имеет длину. Секущая плоскость шара: круг, который имеет площадь и не имеет длины окружности. Поэтому стоит быть аккуратным в формулировках задачи, чтобы не было ошибок из-за подобных мелочей.

Площадь простой поверхности.

Пусть простая поверхность задана уравнением eqref. Рассмотрим на поверхности криволинейный параллелограмм, ограниченный координатными линиями (u), (u + Delta u), (v), (v + Delta v). Векторы (boldsymbol_(u, v)Delta u) и (boldsymbol_(u, v)Delta v) будут касательными к координатным линиям, проходящим через точку (A(u, v)) поверхности (рис. 53.1), а длины этих векторов в силу формул eqref будут отличаться от длин сторон криволинейного параллелограмма на (o(Delta u)) и (o(Delta v)) соответственно при (Delta u rightarrow 0), (Delta v rightarrow 0). Поэтому естественно считать, что площадь криволинейного параллелограмма приближенно равна площади (dS) параллелограмма, построенного на векторах (boldsymbol_ Delta u) и (boldsymbol_ Delta v). Таким образом, при (Delta u > 0), (Delta v > 0).
$
dS = |[boldsymbol_, boldsymbol_] Delta u Delta v| = sqrt> du dv.label
$

Рис. 53.1

Выражение eqref называется элементом площади поверхности.

Определим формально площадь простой поверхности (Sigma) как следующий двойной интеграл (область (Omega) предполагается измеримой по Жордану):
$
S(Sigma) = iintlimits_ |[boldsymbol_, boldsymbol_]| du dv = iintlimits_ sqrt> du dv.label
$

Это определение оправдано приведенными выше эвристическими рассуждениями, а также перечисленными ниже свойствами площади поверхности.

Число (S(Sigma)) не зависит от способа параметризации поверхности.

(circ) Пусть переход от параметрического уравнения eqref к параметрическому уравнению
$
boldsymbol = boldsymbol(u’, v’), (u’, v’) in Omega’,nonumber
$
совершается при помощи взаимно однозначного и непрерывно дифференцируемого отображения области (Omega’) на область (Omega) с якобианом, не равным нулю. Тогда, воспользовавшись формулой отсюда и формулой замены переменных в двойном интеграле, получаем
$
S(Sigma) = iintlimits_ |[boldsymbol_, boldsymbol_]| du’ dv’ = iintlimits_ |[boldsymbol_, boldsymbol_]| cdot left|fracright| du’ dv’ = iintlimits_ |[boldsymbol_, boldsymbol_]| du dv. bulletnonumber
$

Если поверхность (Sigma) есть плоская измеримая по Жордану область (Omega), заданная уравнениями
$
x = u, y = v, z = 0, (u, v) in Omega,nonumber
$
то ее площадь, вычисленная при помощи формулы eqref, совпадает с плоской мерой Жордана области (Omega).

Читайте также  Водоотталкивающая смазка для подшипников

(circ) Так как
$
boldsymbol = (u, v, 0), boldsymbol_ = (1, 0, 0), boldsymbol_ = (0, 1, 0), E = G = 1,nonumber F = 0,
$
то
$
S(Sigma) = iintlimits_ |[boldsymbol_, boldsymbol_]| du dv = iintlimits_ du dv = m(Omega). bulletnonumber
$

Выражение (S(Sigma)) аддитивно зависит от поверхности.

(circ) Если область (Omega) гладкой перегородкой разбита на области (Omega_<1>) и (Omega_<2>), то и поверхность (Sigma) разобьется на простые поверхности (Sigma_<1>) и (Sigma_<2>). Из аддитивности двойного интеграла по области интегрирования следует, что
$
S(Sigma) = S(Sigma_<1>) + S(Sigma_<2>). bulletnonumber
$

Для поверхности, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции на замыкании измеримой по Жордану области (Omega), формула eqref для площади поверхности имеет следующий вид:
$
S(Sigma) = iintlimits_ sqrt<1 + f_^ <2>+ f_^<2>> dx dy.label
$

(circ) Действительно, так как
$
boldsymbol = (x, y, f(x, y)), boldsymbol_ = (1, 0, f_(x, y)), boldsymbol_ = (0, 1, f_(x, y)),nonumber
$
то
$
E = boldsymbol_^ <2>= 1 + f_^<2>, F = (boldsymbol_, boldsymbol_) = f_f_, G = boldsymbol_^ <2>= 1 + f_^<2>,nonumber
$
$
EG-F^ <2>= (1 + f_^<2>)(1 + f_^<2>)-f_^<2>f_^ <2>= 1 + f_^ <2>+ f_^<2>. bulletnonumber
$

Найти площадь части сферы (x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>), вырезаемой из нее цилиндром (x^<2>-ax + y^ <2>= 0) (см. рис. 48.10).

(triangle) В силу симметрии достаточно ограничиться рассмотрением той части сферы, которая лежит в первом октанте. Цилиндр будет вырезать из нее множество точек, определяемое следующими неравенствами и равенствами:
$
x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>, x^<2>-ax + y^ <2>leq 0, x geq 0, y geq 0, z geq 0.label
$

Если перейти к сферическим координатам, полагая
$
x = a cos psi cos varphi, y = a cos psi sin varphi, z =a sin psi,label
$
то система равенств и неравенств eqref эквивалентна равенствам eqref и неравенствам
$
0 leq varphi leq psi leq frac<2>,label
$
определяющим в плоскости параметров (varphi, psi) треугольную область (Omega) (рис. 53.2). Интересующая нас простая поверхность есть образ треугольной области (Omega) при отображении eqref.

Рис. 53.2

Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы. Получаем
$
boldsymbol = (a cos psi cos varphi, a cos psi sin varphi, a sin psi),nonumber
$
$
boldsymbol_ = (-a sin psi cos varphi, -a sin psi sin varphi, a cos psi),nonumber
$
$
boldsymbol_ = (-a cos psi sin varphi, a cos psi cos varphi, 0),nonumber
$
$
E = boldsymbol_^ <2>= a^<2>, F = (boldsymbol_, boldsymbol_) = 0, G = boldsymbol_^ <2>= a^ <2>cos^ <2>psi.nonumber
$

Площадь части сферы (x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>), вырезаемой из нее цилиндром (x^<2>-ax + y^ <2>= 0), равна
$
S(Sigma) = 4 iintlimits_ sqrt> dvarphi dpsi = 4 intlimits_<0>^ dvarphi intlimits_^ a^ <2>cos psi dpsi = 4a^ <2>left(frac<2>-1right). blacktrianglenonumber
$

СФЕРА

Геометрия 11 класс Выполнила : Попова Е.А. тема: Объем шара и площадь сферы

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства,

С R R R расположенных на данном расстоянии (R) от данной точки (C). Центр сферы (С) Радиус сферы (R) Диаметр сферы (d=2R) Шар – это тело, ограниченное сферой. Центр шара (С) С Радиус шара (R) Диаметр шара (d=2R) R R R

Объём шара, шарового сегмента и шарового слоя

x y z O Vшара=4/3ПR3 Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Шаровой слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Vш. Сегмента = Пh2(R- 1/3h) Vш. слоя=Vш.сег.1-Vш.сег.2 Основание сегмента Высота сегмента (h) R

Объём шарового сектора

Vш. сектора=2/3ПR2h Шаровой сектор – это тело, полученное вращением кругового сектора, с углом, меньшим 90о, вокругпрямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. R h

Площадь сферы

В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на . Решение.Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра: Тогда объем шара . Ответ: 4,5. ЕГЭ: В11

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза? Решение.Объем шара радиуса равен При увеличении радиуса втрое, объем шара увеличится в 27 раз. Ответ: 27. В11

Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей. Решение.Из условия найдем, что радиус такого шара Ответ: 10. В11

Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на Решение.Радиус описанного шара равен половине диагонали куба: . Поэтому объем шара равен Тогда Ответ: 4,5. В11

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара. Решение.Радиус большого круга является радиусом шара. Площадь первого выражается через радиус как , а площадь поверхности сферы – как 4ПR2. Видно, что площадь поверхности шара в раза больше площади поверхности большого круга. Ответ: 12. В11

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза? Решение.Площадь поверхности шара выражается через его радиус как , поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в Ответ: 4. раза. В11

Объем шара равен 288 Найдите площадь его поверхности, деленную на Решение.Объем шара радиуса , откуда Площадь его поверхности: Ответ: 144. В11

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара. Решение.По построению радиусы шара и основания цилиндра равны. Площадь цилиндра, описанного вокруг шара радиусом равна Площадь поверхности шара радиусом равна , то есть в 1,5 раза меньше первой. Площадь поверхности шара тогда равна 12. Ответ: 12. В11

Школы России перейдут на дистанционное обучение сразу после осенних каникул с 26 октября

Как стало известно, в начале октября в школы были разосланы дополнительные указания о максимальной готовности к переходу на удаленное обучение в любой момент. Было рекомендовано проверить оборудование и готовность учителей к дистанционной работе.

В школах раздаются последние методички по ведению удаленного обучения, ноутбуки и планшеты. Одним словом, школы массово готовятся к переходу на дистант.

Контрольная работа № 5
«Объем шара и площадь сферы»

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Мотивация к учебной деятельности. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.

2. Контрольная работа

1 уровень сложности

Вариант 1

  1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара.
  2. Объем цилиндра равен 96π 3 см 3 . Площадь его осевого сечения 48 см 2 . Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.

Вариант 2

  1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.
  2. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объемов шара и цилиндра.

2 уровень сложности

Вариант 1

  1. Медный куб, ребро которого 10 см, переплавлен в шар. Найдите радиус шара.
  2. Радиус шара равен R. Определите объем шарового сектора, если дуга в осевом сечении сектора равен 90°.
  3. Внешний диаметр полого шара 18 см, толщина стенок 3 см. Найти объем стенок.

Вариант 2

  1. Свинцовый шар, диаметр которого 20 см, переплавлен в шарики с диаметром в 10 раз меньше. Сколько таких шариков получилось?
  2. Радиус шара равен R. Определите объем шарового сектора, если дуга в его осевом сечении равна 60°.
  3. Поверхность шара равна 225π м 2 . Определите его объем.
Читайте также  Трансформатор 220 12

3 уровень сложности

Вариант 1

  1. Объем шара 400 см 3 . На радиусе как на диаметре построен другой шар. Найдите объем малого шара.
  2. Площадь поверхности куба равна площади поверхности шара. Найдите отношение объемов куба и шара.
  3. Диагональным сечением прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар, является квадрат площадью S. Найдите объем шара.
  4. Диаметр шара радиуса 12 см разделен на 3 части, длины которых относятся как 1 : 3 : 4. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем образовавшегося шарового слоя.

Вариант 2

  1. Объем шара равен 15 см 3 . На диаметре как на радиусе построен другой шар. Найдите объем большего шара.
  2. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна площади поверхности шара. Найдите отношение объемов параллелепипеда и шара, если ребра параллелепипеда, исходящие из одной вершины относятся как 1 : 2 : 4.
  3. Диагональным сечением прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар, является квадрат. Найдите площадь этого диагонального сечения, если объем шара равен V.
  4. Диаметр шара радиуса 9 см разделен на 3 части, длины которых относятся как 1 : 2 : 3. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем шарового слоя.

3. Рефлексия учебной деятельности ( ОТВЕТЫ )

В конце урока учитель раздает на каждую парту краткую запись решения задач контрольной работы.
Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.