Формула жесткости пружины

Формула жесткости пружины

Силу, которая возникает в результате деформации тела и пытающаяся вернуть его в исходное состояние, называют силой упругости.

Чаще всего ее обозначают $>_$. Сила упругости появляется только при деформации тела и исчезает, если пропадает деформация. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.

Современник И. Ньютона Р. Гук установил зависимость силы упругости от величины деформации. Гук долго сомневался в справедливости своих выводов. В одной из своих книг он привел зашифрованную формулировку своего закона. Которая означала: «Ut tensio, sic vis» в переводе с латыни: каково растяжение, такова сила.

Рассмотрим пружину, на которую действует растягивающая сила ($overline$), которая направлена вертикально вниз (рис.1).

Силу $overline$ назовем деформирующей силой. От воздействия деформирующей силы длина пружины увеличивается. В результате в пружине появляется сила упругости ($>_u$), уравновешивающая силу $overline$. Если деформация является небольшой и упругой, то удлинение пружины ($Delta l$) прямо пропорционально деформирующей силе:

где в коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины (коэффициентом упругости) $k$.

Жесткость (как свойство) — это характеристика упругих свойств тела, которое деформируют. Жесткость считают возможностью тела оказать противодействие внешней силе, способность сохранять свои геометрические параметры. Чем больше жесткость пружины, тем меньше она изменяет свою длину под воздействием заданной силы. Коэффициент жесткости — это основная характеристика жесткости (как свойства тела).

Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого сделана пружина и ее геометрических характеристик. Например, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси может быть вычислена как:

где $G$ — модуль сдвига (величина, зависящая от материала); $d$ — диаметр проволоки; $d_p$ — диаметр витка пружины; $n$ — количество витков пружины.

Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:

Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.

Какую жесткость имеет пружина

При выборе готовых пружин, например для подвески автомобиля, определить, какую жесткость она имеет, можно по коду продукта либо по маркировке, которая наносится краской. В остальных случаях расчет жесткости производится исключительно экспериментальными методами.

Жесткость пружины по отношению к деформации бывает величиной переменной или постоянной. Изделия, жесткость которых при деформации остается неизменной называются линейными. А те, у которых есть зависимость коэффициента жесткости от изменения положения витков, получили название «прогрессивные».

В автомобилестроении в отношении подвески существует следующая классификация жесткости пружин:

  • Возрастающая (прогрессирующая). Характерна для более жесткого хода автомобиля.
  • Уменьшающаяся (регрессирующая) жесткость. Напротив, обеспечивает, «мягкость» подвески.

Определение величины жесткости зависит от следующих исходных данных:

  • Тип сырья, используемый при изготовлении;
  • Диаметр витков металлической проволоки (Dw);
  • Диаметр пружины (в расчет берется средняя величина) (Dm);
  • Число витков пружины (Na).

Расчет жесткости системы

Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости. В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.

Последовательное соединение системы пружин

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,

где k — общая жесткость системы, k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента, i — общее количество всех пружин, задействованных в системе.

Параллельное соединение системы пружин

В случае когда пружины соединены параллельно, величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

k = k1 + k2 + … + ki.

Измерение жесткости пружины опытным путем — в этом видео.

Применение цилиндрических пружин

На производстве наиболее востребованы цилиндрические пружины, так как они обладают уникальными особенностями. При создании системы отмечается центральная ось, вдоль которой действуют разные силы. В процессе изготовления подобных изделий используется проволока соответствующего диаметра.

Для её изготовления понадобится специальный сплав либо обычные металлы. Сам материал должен обладать высокой упругостью. Проволока может иметь витки одного диаметра либо разных радиусов. Большим спросом пользуются цилиндрическая пружина, которая в сжатом состоянии обладает незначительной толщиной.

Главными параметрами изделия считаются:

  • малый, средний и большой диаметр витков и самой проволоки;
  • шаг размещения отдельный колец.

В задачах по физике вычисляется k для двух состояний: растяжение и сжатие. В любом случае используется одна формула для определения величины. Разница понятий:

  • Исполнение, рассчитанное на сжатие, характеризуется дальним размещением витков. Расстояние, образуемое между ними, появляется возможность на сжатие.
  • Модель, связанная с растяжением, имеет кольца, расположенные плотно между собой. Такая форма определяет то, что при максимальной силе растяжение минимальное.

    Отдельно рассматриваются варианты на изгиб и кручение. Такие детали рассчитываются по специальным формулам. Для разных соединений характерны определённые особенности. Чтобы провести определения растяжения, учитывается момент теста.

    Показатель зависит от характеристик проволоки, оказываемой силы либо массы тела. Для всех систем используются разные формулы, но полученные результаты не имеют погрешностей. Чтобы провести тесты для вычисления основных параметров, используется специальное оборудование. Простые задачи с деформацией пружин решают ученики на уроках физике в 7−8 классе. О параллельном и последовательном соединении элементов системы узнают учащиеся старших классов.

    Жесткость пружины. Как рассчитать.

    Измерение параметров жесткости пружин разных типов

    При производстве на предприятии и для применения необходимо определить способность пружины выдерживать определенные типы нагрузок. Для этого высчитывается т.н. коэффициент Гука – обозначение жесткости пружины, от которого зависит её надёжность. На этот параметр влияет материал, выбранный для изготовления. Это может быть сталь, легированная кремнием, ванадием, марганцем, другими добавками. Также применяются нержавейка, бериллиевая и кремнемарганцевая бронза, сплавы на основе никеля и титана.

    Если деталь выпускается для применения при высоких нагрузках, экстремальных температурах, используются специальные марки легированной стали. Нижегородская метизная корпорация имеет возможность производить пружины под заказ, создавая изделия с заданными характеристиками.

    Что такое жесткость?

    Говоря о практике, а не физических терминах, это сила, приложив которую, можно сжать пружину. Если вы знаете прилагаемое усилие, можно определить, какой будет деформация, и наоборот. Это существенно облегчает вычисления.

    Коэффициент высчитывается для пружин кручения, растяжения, изгиба, сжатия – всех наиболее популярных в промышленности разновидностей этого изделия. Также следует отметить два основных типа:

    • С линейной (постоянной) жесткостью;
    • С прогрессивной (зависящей от положения витков) жесткостью.

    Часто производитель наносит на готовую продукцию пометку краской. Если такого обозначения нет, применяется формула определения жесткости пружины через массу и длину, упрощающая задачу. Она изначально разрабатывалась для пружин растяжения, была получена методом измерения соответствия массы грузы с изменениями геометрии.

    Также данный параметр может быть прогрессирующим – растущим — или регрессирующим – убывающим. Во втором случае параметр «жесткости» принято называть «мягкостью». В отдельных механизмах, например, в автомобилестроении, этот параметр особенно актуален.

    Читайте также  Соединение многожильных проводов

    Какие вводные данные требуются?

    При расчёте важно знать следующую информацию:

    • Из какого материала выполнено изделие;
    • Точный диаметр витков – Dw;
    • Общий диаметр самой пружины – Dm;
    • Количество витков – Na.

    Таким образом, к коэффициенту жесткости пружинного механизма может применяться формула:

    k=G*(Dw)^4/8 * Na * (Dm)^3.

    Переменная G означает модуль сдвига. Это значение можно найти в таблицах для разных материалов. К примеру, у пружинной стали G=78,5 ГПа.

    Далее разберемся, как определить жесткость пружины по формуле:

    Длина L бывает двух типов:

    • L1 – измеренная в вертикальном положении без груза;
    • L2 – полученная при подвешивании груза с точно известной массой.

    Например, 100-граммовая гиря, закреплённая в нижней части, воздействует с силой F, равной 1 Н. Получаем разницу между двумя показателями длины:

    При этом следует уточнить, что степень жесткости не определяет распрямление в исходное состояние. На него воздействуют сразу несколько факторов.

    Насколько важен показатель, и на что он влияет?

    Характеристики пружины важны не только для соответствия ГОСТам и проведения сертификации. Они влияют на сроки эксплуатации изделий, в которых используются, а это огромное количество приборов, деталей, механизмов, от мебели, до различных транспортных средств.

    Поэтому данная величина напрямую влияет на надёжность готовых изделий, оборудования, техники, в которых используются элементы, содержащие пружины.

    Часто люди интересуются, как рассчитать жесткость пружины цилиндрической винтовой. Для таких случаев учитывается не только модуль сдвига, но и параметр Rs – напряжение, допускаемое при кручении. Здесь в расчёт берётся тип материала, его физические свойства, механические характеристики.

    Следующий вопрос – в чем измеряется коэффициент жесткости пружины при расчётах. Традиционно в системе измерений, принятой в нашей стране принято записывать значение в Н/м – ньютонах на один метр. Также это значение в качестве альтернативного варианта может записываться в килограммах на квадратный сантиметр, дин/см, граммах на квадратный сантиметр (расчёты в системе СГС).

    Ход работы

    I. Организационный момент.

    II. Актуализация знаний.

    • Что такое деформация?
    • Сформулировать закон Гука
    • Что такое жесткость и в каких единицах она измеряется.
    • Дайте понятие об абсолютной и относительной погрешности.
    • Причины, приводящие к появлению погрешностей.
    • Погрешности, возникающие при измерениях.
    • Как чертят графики результатов эксперимента.

    Возможные ответы учащихся:

    • Деформация – изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Деформации разделяют на обратимые (упругие) и необратимые (пластические, ползучести). Упругие деформации исчезают после окончания действия приложенных сил, а необратимые — остаются. В основе упругих деформаций лежат обратимые смещения атомов металлов от положения равновесия; в основе пластических — необратимые перемещения атомов на значительные расстояния от исходных положений равновесия.
    • Закон Гука: «Сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна его удлинению и направлена противоположно направлению перемещения частиц тела при деформации».

      F
      упр = –kx
    • Жесткостью называют коэффициент пропорциональности между силой упругости и изменением длины пружины под действием приложенной к ней силы. Обозначают k. Единица измерения Н/м. Согласно третьему закону Ньютона, приложенная к пружине сила по модулю равна возникшей в ней силе упругости. Таким образом жесткость пружины можно выразить как:

      k = Fупр/x

      Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений.

      Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

      ε = х/х

    • Измерения никогда не могут быть выполнены абсолютно точно. Результат любого измерения приближенный и характеризуется погрешностью – отклонением измеренного значения физической величины от ее истинного значения. К причинам, приводящим к появлению погрешностей, относятся:
      – ограниченная точность изготовления средств измерения.
      – изменение внешних условий (изменение температуры, колебание напряжения)
      – действия экспериментатора (запаздывание с включением секундомера, различное положение глаза. ).
      – приближенный характер законов, используемых для нахождения измеряемых Величин
    • Погрешности, возникающие при измерениях, делятся на систематические и случайные. Систематические погрешности – это погрешности, соответствующие отклонению измеренного значения от истинного значения физической величины всегда в одну сторону (повышения или занижения). При повторных измерениях погрешность остается прежней. Причины возникновения систематических погрешностей:
      – несоответствие средств измерения эталону;
      – неправильная установка измерительных приборов (наклон, неуравновешенность);
      – несовпадение начальных показателей приборов с нулем и игнорирование поправок, которые в связи с этим возникают;
      – несоответствие измеряемого объекта с предположением о его свойствах.

    Случайные погрешности – это погрешности, которые непредсказуемым образом меняют свое численное значение. Такие погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения (неровности на поверхности объекта, дуновение ветра, скачки напряжения и т.д.). Влияние случайных погрешностей может быть уменьшено при многократном повторении опыта.

    Погрешности средств измерений. Эти погрешности называют еще инструментальными или приборными. Они обусловлены конструкцией измерительного прибора, точностью его изготовления и градуировки.

    При построении графика по результатам опыта экспериментальные точки могут не оказаться на прямой, которая соответствует формуле Fупр = kx

    Это связано с погрешностями измерения. В этом случае график надо проводить так, чтобы примерно одинаковое число точек оказалось по разные стороны от прямой. После построения графика возьмите точку на прямой (в средней части графика), определите по нему соответствующие этой точке значения силы упругости и удлинения и вычислите жесткость k. Она и будет искомым средним значением жесткости пружины kср.

    III. Порядок выполнения работы

    1. Закрепите на штативе конец спиральной пружины (другой конец пружины снабжен стрелкой-указателем и крючком см. рис.).

    2. Рядом с пружиной или за ней установите и закрепите линейку с миллиметровыми делениями.

    3. Отметьте и запишите то деление линейки, против которого приходится стрелка-указатель пружины.

    4. Подвесьте к пружине груз известной массы и измерьте вызванное им удлинение пружины.

    5. К первому грузу добавьте второй, третий и т. д. грузы, записывая каждый раз удлинение |х| пружины.

    По результатам измерений заполните таблицу:

    Закон Гука

    При упругой деформации есть взаимосвязь между силой упругости, возникающей в результате деформации, и удлинением деформируемого тела. Эту взаимосвязь первым обнаружил английский ученый Роберт Гук.

    Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению.

    x — абсолютное удлинение (деформация), k — коэффициент жесткости тела.

    Абсолютное удлинение определяется формулой:

    l — начальная длина тела, l — длина деформированного тела, ∆l — изменение длины тела.

    Коэффициент жесткости тела определяется формулой:

    E — модуль упругости (модуль Юнга). Каждое вещество обладает своим модулем упругости. S — площадь сечения тела.

    Важно! Закон Гука не работает в случае, если деформация была пластической.

    Пример №1. Под действием силы 3Н пружина удлинилась на 4 см. Найти модуль силы, под действием которой удлинение пружины составит 6 см.

    Согласно третьему закону Ньютона модуль силы упругости будет равен модулю приложенной к пружине силе. В обоих случаях постоянной величиной окажется только жесткость пружины. Выразим ее из закона Гука и применим к каждому из случаев:

    Приравняем правые части формул:

    Выразим и вычислим силу упругости, возникающую, когда удлинение пружины составит 6 см:

    Расчет цилиндрических винтовых пружин

    В технике наиболее распространены цилиндрические винтовые пружины из стали круглого поперечного сечения, работающие на растяжение или сжатие. Покажем порядок расчета такой пружины, имеющей небольшой угол подъема витков ( α ≤1 5°).

    В качестве примера рассмотрим цилиндрическую винтовую пружину с диаметром D винтовой оси, диаметром d проволоки, числом витков n , сжимаемую силой F (рис. 5) .

    Для определения внутренних силовых факторов применим известный нам метод сечений. Рассечем пружину плоскостью, проходящей через ось, и отбросим нижнюю часть пружины. Ввиду того, что угол α подъема витков мал, будем считать сечение витка поперечным, т. е. кругом диаметром d .

    Рассматривая равновесие верхней части пружины (рис. 6) , видим, что в поперечном сечении витка возникают два внутренних силовых фактора:
    — поперечная сила Q = F
    — крутящий момент МКР = FD / 2 .
    Отсюда следует, что в поперечном сечении витка пружины действуют только касательные напряжения сдвига и кручения.

    Будем считать, что напряжения сдвига распределены по сечению равномерно, а напряжения кручения определяются, как при кручении прямого кругового цилиндра.
    Эпюры распределения напряжений сдвига и кручения, а также эпюра суммарных напряжений в точках горизонтального диаметра сечения представлены на рис. 6 .

    Из суммарной эпюры видно, что наибольшие касательные напряжения возникают в точке В , ближайшей к оси пружины:

    τmax = τсдв + τкр = Q / S + Мкр / Wр = F / (πD 3 / 4) + (FD / 2) / πd 3 / 16) ,

    τmax = (8FD / πd 3 ) / (d / 2D + 1) .

    Если пружина имеет относительно большой средний диаметр и изготовлена из относительно тонкой проволоки, то первое слагаемое в скобках (соответствующее напряжению сдвига) значительно меньше единицы и в практических расчетах им можно пренебречь; тогда:

    Для приближенного расчета цилиндрических пружин на прочность применяется формула:

    Поскольку пружины обычно изготавливают из высококачественной стали, допускаемое напряжение принимают равным в пределах [τ] = 200….1000 МПа.

    Расчет осадки цилиндрической пружины

    Далее выведем формулу для определения уменьшения высоты (осадки) λ пружины. Для этого мысленно разобьем пружину на бесконечно малые участки длиной dl , которые ввиду малости длины будем считать прямолинейными, и учитывая только потенциальную энергию деформации кручения, получим:

    где l = πDn длина проволоки пружины.

    Работа силы F , приложенной к пружине статически, будет равна W = Fλ / 2 .
    Так как W =U , то Мкр = FD / 2 , следовательно Ip = πd 4 / 32 , тогда получаем:

    Fλ / 2 =[(Fλ / 2) 2 πDn] / (2G πd 4 / 32) , откуда: λ = 8 FD 3 n / (Dd 4 ) .

    Эту формулу можно записать в таком виде:
    λ = F / С ,
    где: С = Gd 4 / 8D 3 n – коэффициент жесткости пружины.
    При λ = 1, С = F , поэтому коэффициент жесткости численно равен силе, вызывающей осадку, равную единице длины.
    Отношение среднего диаметра витков к диаметру проволоки обозначают Сn и называют индексом пружины :

    Обычно индекс пружин равен Сn = 4….12 .

    При более точных расчетах винтовых пружин учитывают кривизну их витков и вводят в числитель формулы (1) поправочный коэффициент К ≈ 1 + 1,45 / Cn .

    Пример расчета цилиндрической пружины

    Определить диаметр проволоки стальной пружины, если под действием силы F = 800 Н ее осадка λ = 39 мм.
    Индекс пружины Сn = 6, число витков n = 14.
    Модуль упругости стали пружины G = 8 х 10 4 Мпа, допускаемое напряжение [τ] = 450 МПа.

    Решение.

    Используя формулу для определения индекса пружины Сn = D / d , получим: D = Сn d . Подставляем это значение D в формулу для определения осадки пружины:

    λ = 8 FD 3 n / (Dd 4 ) = 8 FD 3 n / (Gd 4 ) = 8 F Сn 3 d 3 n / (Gd 4 ), откуда найдем d и после подстановки числовых значений получим:

    d = 8 F Сn 3 n / λ G = 8 х 800 х 106 х 14 / 39 х 10 -3 х 8 х 104 х 106 = 7 х 10 -3 м = 7 мм.

    Итак, диаметр проволоки цилиндрической пружины должен быть не менее 7 мм, а средний диаметр самой пружины D = Сn d = 6 х 7 = 42 мм.

    Упругие свойства пружин используются в приборах для измерения силы. Обычно динамометр состоит из двух основных частей: пружины (упругий элемент) и шкалы устройства, на которой нанесены цифровые значения силы или массы, если этот прибор предназначен для бытового применения. Измеряемое усилие прикладывается к пружине, которая деформируется и сдвигает стрелку прибора вдоль отсчетной шкалы.

    Рис. 3. Пружинные динамометры.

    Хотя закон Гука и считается универсальным, но диапазон деформаций в котором он выполняется сильно отличается для разных тел. Например, в металлических проволоках (прямолинейных) и стержнях максимальная величина относительной деформации (отношение Δх к L), для которой еще будет справедлив закон Гука, составляет не более 1%. При больших деформациях наступают необратимые разрушения материалов.